книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта
..pdfвсех плоскостях, перпендикулярных к оси хз, поля одинаковы, что дает основание считать картину потока не зависящей от этой оси.
Пусть дан вектор
—i>i = ац/ 1 + а12/г 1
(III.27)
—Х>2= 02111+ «22^2 j
Составим скалярное произведение v •/, которое как раз и бу дет равно билинейной форме (III.23), если предположить, что
=TI,\ Итак, коэффициенты а,-/ билинейной формы являются
коэффициентами этого вектора. Поэтому формула (II 1.27) дает возможность определить значения этих коэффициентов в новой системе координат.
Представим в табл. III.1 значения косинусов углов для ста
рой (* i, |
*2, хз) |
и новой |
( х ' |
, х ' |
, х ' ) , |
повернутой |
на |
угол а , |
|||||
системы координат. |
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
III.1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Переход от старой системы координат |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
к новой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х \ |
|
|
Х г |
|
|
|
|
|
|
|
х '\ |
|
/ ц |
— COS а |
1 \ 2 |
= |
sin а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 22 = |
COS я |
|
|
|
|
||
|
|
х 2 |
|
Л>1 |
= s in |
а |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты новой системы координат |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
«11 = |
/?1«11 + |
^ llll2 « 1 2 + Лг^21«21 + |
Лг«22 |
|
|
|
|
|
||||
|
«12 = |
A l^21«ll |
+ |
^11^22«12 + |
^12^21«21 + |
^12^22«22 |
|
|
|
(III.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
021 = |
^21^11«11 |
+ |
^21^12«12 + |
^22^11«21 + |
^22^12«22 |
|
|
|
|
|||
|
022 = |
lIlO ll + |
^21^22«12 + ^22^21«21 + |
^22«22 |
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, ЧТО « 1 2 |
= |
а 21> получим « ,12= |
“ 2 1 » |
т - |
е- |
В |
л1°бОЙ |
||||||
другой |
системе |
прямоугольных координат |
условие |
аг-;-= |
со |
блюдается. Такой тензор называется симметричным.
Можно показать, что существует единственная система пря моугольных координат, для которой коэффициенты со смешан ными индексами равны нулю а,-; = 0. Эти направления назы ваются главными направлениями тензора. Для этих направле ний, очевидно, имеем
—Ul = Ctn/i, —«2 = «22^2-
61
Отметим, что по одному главному направлению величина про ницаемости достигает максимального, а по другому— минималь ного значения.
Если старая система координат (xi, х2) соответствовала главным направлениям, то необходимо принять cti2 = a2i = 0. Тогда для новой системы (х(х'), согласно таблице III.1, имеем
kn = |
(cos2 a) k\ + |
(sin2 a) k2 |
|
|
kz\= |
ki2 = — ^"2" sin 2aj k\ -|- |
sin 2a^ k2 |
(III.29) |
|
k22 = |
(sin2 a) k\ + |
(cos2 a) k2 |
|
|
При этом учитывалась зависимость между а и k, а = Дг/ц. Для главных направлений вторые индексы, очевидно, несущест венны, поэтому их не учитывают: kn = ki, £22 = kz.
Формулы (III.29) дают возможность определить компоненты тензора проницаемости в любой прямоугольной системе коорди нат по известным компонентам ki и kz по главным направле ниям. Можно решить и обратную задачу, т. е. по известным зна чениям k' , k' , к'кг найти kn k2 и а.
Часто анизотропия выражается повышенной проницаемо стью вдоль напластования по сравнению со значениями ее в перпендикулярном направлении. Указанная особенность пла
стов обусловлена распределением и упаковкой |
частиц |
породы |
в процессе седиментации [34]. При осаждении |
песка |
в воде |
тенденция укладывания зерен такая, что длинные оси их рас полагаются в плоскости напластования. Это способствует умень шению сопротивления при движении растворяющих минералы жидкостей в плоскостях напластования и еще большему увели чению проницаемости в этом направлении.
Ограничимся рассмотрением тонкослоистого анизотропного пласта, образованного из чередующихся изотропных слоев тол щиной Ahi и Ahz и проницаемостью 6* и k* .
Вначале рассмотрим фильтрацию вдоль слоев. По закону Дарси для каждого слоя получим
<7i |
ц |
д Р |
’ |
|
(III.30) |
L |
|
||||
|
|
|
|||
<72 |
*2A/t2 |
д Р |
|
’ |
(III.31) |
|
L |
|
|||
|
|
|
|
где q1 и q2— расходы в каждом слое шириной, равной единице, причем градиент давления Ap/L в обоих слоях одинаков.
Общий расход будет
k\ д h |
Д р |
(III.32) |
|
— |
Т > |
||
|
62
где Ah = Ahi+Ahz, а |
|
|
|
|
|
|
|
kl bhl + k2bh2 |
• Мц |
* |
д/t, |
||
— |
ДЛ1 + |
ДЛ2 |
— Al |
ДА |
+ * 2 |
(Ш.ЗЗ) |
ДА |
||||||
Рассмотрим |
теперь |
фильтрацию |
в |
направлении нормали |
к слоям. Обозначив через Ар\ падение давления в первом слое, получим расход
к\р |
Api |
ц |
ДА[ |
Во втором слое расход будет таким же:
__ |
к-2^ |
Д/>2 |
У |
ц |
ДЛг |
Из (II 1.34) и (111.35) найдем
£2F &р
4 ~ ~ Ц ДА" ’
где Ap = Api+Apz, а
1__________
^2 |
Д/»1_ . |
1 |
_ДЛ2 |
|
|||
|
-ДА + |
^ |
• ДА- |
(III.34)
(III.35)
(III.36)
Можно показать, что k\ > kz. Направления вдоль и поперек напластования являются главными, поэтому ki = kmax и kz =
:== &mln-
Рассмотрим более общее, чем (III.11), уравнение. Допустим, найдены главные оси координат, для которых, как известно,
v |
____ _^L. i £ i |
' |
у |
kz |
_ _3р_ |
||||
ix <3л: ’ |
|
|
|i |
ду |
v* |
ц |
’ дг |
||
Подставляя их в уравнение (III.11), получим |
|
(III. 37) |
|||||||
32 р |
k |
д2р |
|
k |
* J L - 0 |
|
|||
kx 1x2 |
у ду2 |
|
йг |
<3*2 |
— U- |
|
|
||
Введем новые переменные |
|
|
|
|
|
|
|
||
х\ = |
|
У1 |
|
|
|
|
Zi = |
z. |
|
Тогда уравнение (III.37) в |
новых |
координатах |
yi и z\ |
||||||
будет уравнением Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&1Р |
| & Р |
, |
&2р |
|
|
|
|
||
- 2 I |
а 2 I |
а 9 ' = U• |
|
|
|||||
ЗдГ[ |
|
Зу| |
|
дг\ |
|
|
|
|
|
Имея решение этого уравнения для конкретных граничных условий, переходят к старым переменным х , у и г .
63
простейшие решения, получаемые непосредственным
ИНТЕГРИРОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ (Ш.14)
Непосредственному интегрированию поддаются, как правило, так называемые одномерные задачи, которые соответствуют фильтрационному потоку, зависящему от одной координаты.
Самый простой случай — линейный поток, к которому могут быть сведены, с достаточной для практики точностью, многие фильтрационные потоки (рис. III.1, а).
Дифференциальное уравнение (III.14) при этом примет вид
|
|
|
д2р |
_ |
|
(III.38) |
|
|
|
дх2 |
~ О- |
|
|
Откуда в |
результате |
двукратного |
интегрирования |
получим |
||
|
|
|
р = Сх |
|
(III.39) |
|
Пусть при х = 0 р = |
р1, при х = L р = р г < рь |
|
||||
Подставляя в (III.39), получим линейное распределение дав |
||||||
ления |
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
Р\ |
Р1 — Р2 |
„ |
(III.40) |
|
|
I |
*• |
||||
Используя |
(III.40), |
получим, как и следовало ожидать, за- |
||||
кон Дарси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k_ |
Pi — Р2 |
|
(III.41) |
|
|
|
ц |
L |
|
|
64
Так как поток одинаков для всех линий, перпендикулярных к плоскости yoz, то расход определится по формуле
|
Я |
k F |
_ Д1 — Р2 |
(III.42) |
|
ц |
L |
||
где F — площадь сечения |
потока, параллельная плоскости yoz. |
|||
Второй |
случай — плоскорадиальный |
поток, т. е. поток с осе |
||
вой симметрией (см. рис. ИМ, б). |
|
|||
Такой |
поток реализуется |
при работе одной совершенной |
||
скважины |
в однородном |
изотропном |
пласте постоянной тол |
щины h неограниченной протяженности во все стороны или имеющем цилиндрическую поверхность питания, с осью ци линдра, совпадающей с осью скважины.
Скважина считается совершенной по степени вскрытия, если она вскрывает полную толщину пласта.
Если жидкость фильтруется в скважину через отверстия в обсадной колонне, то скважину называют совершенной по сте пени вскрытия, но несовершенной по характеру вскрытия. Скважина — совершенная по обоим признакам или просто со вершенная тогда, когда она вскрывает пласт на всю толщину без фильтра. Фильтрационное поле здесь одинаково для всех плоскостей, перпендикулярных к оси z. Поле зависит от двух координат х н у . Однако поскольку расстояние от оси до точки
г = -у/х2 + у 2,
то картина распределения зависит от одной координаты г. Уравнение Лапласа можно представить в цилиндрических
координатах л и 0 (см. рис. III.1, б). В данном случае вследст вие осевой симметрии поле не зависит от угла 0. Дадим нагляд ное решение этой задачи, минуя преобразование координат.
Пусть ось цилиндра радиуса |
r > |
Rc, |
a Rc — радиус сква |
|||
жины, совпадает с осью z. |
|
|
|
|
|
|
Определим скорость фильтрации на этой поверхности через |
||||||
расход жидкости: |
|
|
|
|
|
|
V |
= |
|
rh |
|
|
(III.43) |
|
2 |
я |
|
|
|
|
Согласно закону Дарси, |
|
|
|
|
|
|
k |
dp |
|
ц |
dp |
' |
(III.44) |
v = ■р |
dn |
|
dr |
|||
Заменяя v его значением из |
|
(111.43) и интегрируя, |
получим |
|||
|
М |
1п г + |
С. |
|
(III.45) |
|
2 |
я kh |
|
|
|
|
|
5 Заказ № 283 |
65 |
При r = |
Rc р = |
Рс, откуда |
|
|
|
|
|
|
С = |
Pc — |
М |
In Rc |
|
|
|
2nkh |
|
|||
|
|
P — Pc |
M |
|
(III.46) |
|
|
|
|
|
2nkh |
|
|
Из (III.46) следует, что при г |
о о величина р |
также стре |
||||
мится к бесконечности. |
|
|
|
|
||
При |
г = RK |
р = рк, |
где рк— давление на поверхности пи |
|||
тания. |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (III.46), получим формулу Дюпюи для опреде |
||||||
ления дебита скважины |
|
|
|
|
||
|
|
Я = |
2nkh |
Рк |
Рс |
(III.47) |
|
|
М- |
ш * |
|||
|
|
|
|
|
||
Характерной особенностью приведенного решения является |
||||||
слабая зависимость дебита от радиуса RK (области) |
для доста |
|||||
точно больших значений RK/Rc- |
|
|
|
Это служит причиной того, что расчеты по формуле Дюпюи дают удовлетворительные результаты и в тех случаях, когда имеет место существенное смещение оси скважины относительно оси цилиндрической области питания. Пусть с — расстояние ме жду этими осями.
Построим цилиндрическую поверхность радиуса R = RK— с, приняв за ось ось скважины. Будем считать эту поверхность поверхностью питания. Тогда дебит скважины будет
2 я kh |
Рк — Рс |
(III.48) |
ЯI |
|
Построим цилиндрическую поверхность радиуса R = RK+ c, принимая за ось ту же прямую. Если считать эту цилиндриче скую поверхность поверхностью питания, то величина дебита будет равна
2 nkh |
р к — Рс |
(III.49) |
Я2 |
' I n * ‘ + с |
|
* |
|
|
|
А С |
|
Истинная поверхность питания находится между двумя по строенными. Поэтому величина действительного дебита должна быть заключена между значениями qi и q2 {q2<. q <. qi).
Ниже, в табл. III.2, приводятся значения qilq2 для ряда ве личин относительного смещения осей c/RK при двух значениях
RJRc = 1000, RK/RC= |
10 000. |
Из табл. III.2 следует, что предельные дебиты, ограничиваю |
|
щие реальный дебит |
несоосной скважины, отличаются друг от |
66
друга на 30% (RJRc = Ю3) и 2 2 % (R JRC= Ю4) даже при достаточно большом относительном смещении c/RK= 0,7.
Следовательно, если вычислять дебит скважины, несоосно расположенной в круговом пласте (при c/RK<. 0,7), по одному из предельных вариантов, то при этом допустим ошибку не бо лее чем на 30 % (RJRC= Ю3) или 2 2 % (RJRC= Ю4). По-ви- димому, более точного результата можно добиться, выбрав
средний вариант <7cp = -^-(<7i + <72) или произведя расчет по фор
муле Дюпюи для фиктивной залежи среднего радиуса
|
|
|
^?ср |
—2~ (Rmln ~Ь ^?тах)- |
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
111.2 |
|
|
Результаты определения отношения <71/72 |
|
|
|||||
|
в зависимости от величины c/RK |
|
|
|
|||
|
|
|
с1*к |
|
|
|
|
*к/*с |
0 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0.7 |
|
|
|
|
|
|||||
103 |
1,0 |
1,03 |
1,09 |
1,18 |
1,30 |
Рис. II 1.2» Схема для расчета |
|
104 |
1,0 |
1,02 |
1,07 |
1,13 |
1,22 |
притока |
жидкости к сква |
жине в |
пласте неправильной |
формы
Из рассмотренных выше примеров можно сделать следую щие выводы.
1. Точное определение радиуса поверхности питания — необя зательное условие получения удовлетворительного решения, что имеет большое практическое значение. В действительных усло виях радиус поверхности питания вычисляется с той или иной степенью достоверности. Если при его определении допускается не слишком большая ошибка (например, если вероятное значе ние этого радиуса заключено между значениями, которые отли чаются друг от друга в два раза), то ошибка при нахождении дебита не превосходит нескольких процентов *. Вообще говоря, ошибка в 5— 10 % и даже более не должна считаться значитель ной, так как геолого-физические параметры (пористость, про ницаемость и т. д.) определяются, как правило, с точностью по рядка 10— 20 %.
2. Для вычисления формулу Дюпюи можно применять не только при круговых цилиндрических поверхностях питания, но и при геометрически правильных цилиндрических поверхностях,
м Указанное положение справедливо для достаточно больших R K/ R c-
5* |
67 |
а также поверхностях неправильной извилистой формы. Пусть, например, поверхность питания имеет вид кривой Г, показан ной на рис. III.2. Ближайшая к скважине точка В, находится на расстоянии АВ = 1 км, самая далекая точка С находится на расстоянии АС = 2,5 км. Используем метод, рассматриваемый в предыдущей задаче. Вся поверхность питания будет заклю чена между поверхностями 1 и 2.
Определим по формуле Дюпюи дебиты, предполагая, что по
верхностью |
|
питания |
является |
вначале |
поверхность |
радиуса |
|
ftmin= 1 км, а затем поверхность |
Rma* = |
2,5 км; |
/?с = |
0,1 м. |
|||
Тогда |
qi |
____ 2 я kh |
Рк — Рс |
2 я |
kh Рк — Рс |
|
|
~ ~~Ц |
. 1000 |
42 |
2 |
5 0 0 |
|
||
|
|
|
1п~ 0 Т |
|
1 п |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
Я\
откуда -^ - =
l g 2 5 0 0 0
= 1, 1,
l g 1 0 0 0 0
т. е. предельные дебиты отличаются друг от друга на 10 %. Следовательно, при расчете по одному из предельных вариантов допускается ошибка не более чем на 10 %.
Приведенные примеры достаточно ясно иллюстрируют воз можности применения формулы Дюпюи.
В дальнейшем читатель сам сумеет рациональным выбором предельных и средних вариантов установить область целесооб разного использования этой формулы для различных случаев.
Третий случай — поток точечного источника или стока (сфе рический радиальный поток) имеет центральную симметрию, так как поле скоростей одинаково во всех направлениях.
Такой поток наблюдается, когда скважина вскрывает только самую кровлю пласта или глубина вскрытия в несколько раз меньше его толщины. В этом случае при известном приближе нии можно заменить реальный фильтрационный поток в окрест ности забоя скважины сферическим радиальным потоком с цен тром, расположенным на оси скважины в точке пересечения этой оси с кровлей (см. рис. III.1, в).
Скорость фильтрации на расстоянии г от стока или источ
ника будет |
я |
|
|
V = |
|
(III.50) |
|
|
4яг2 |
|
|
Подставляя это значение в формулу Дарси |
(II 1.44), полу |
||
чим после интегрирования |
|
|
|
р = - ^ |
я г - ± + |
с - |
<IIL5I> |
При г = R c Р = рс, следовательно, |
|
|
|
p - P ' — w r ( - i r — |
г ) - |
<п152> |
68
Отсюда видно, что |
с ростом г |
возрастает |
и р, стремясь |
к пределу р -*-рк при г —>-оо. Дебит |
скважины |
при этом будет |
|
Ц = |
4я/?с6 (Рк-Рс)- |
(III.53) |
|
|
Ц |
|
|
ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ В ПЛАСТЕ СО МНОГИМИ СКВАЖИНАМИ
Приведенные в предыдущем параграфе решения можно при менять не только в расчетах соответствующих одномерных по токов, но и в более сложных случаях. Один из способов полу чения расчетных зависимостей для сложных потоков в пласте — применение принципа суперпозиции простейших потоков типа
плоскорадиального для плоских |
|
|
|
||||||||||
задач |
фильтрации |
|
или |
типа |
|
|
|
||||||
сферически |
радиального — для |
|
|
|
|||||||||
пространственных. |
совершенные |
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим две |
|
|
|
||||||||||
скважины |
с дебитами |
q\ |
и |
q2 |
|
|
|
||||||
в пласте |
постоянной |
толщины, |
|
|
|
||||||||
простирающемся |
во |
все |
стороны |
|
|
|
|||||||
неограниченно |
(рис. III.3). |
|
|
|
|
|
|||||||
Решением |
уравнения |
Лапла |
|
|
|
||||||||
са |
может |
быть |
поле, |
составлен |
Рис. III.3. К расчету давления в беско |
||||||||
ное |
по |
закону |
|
суперпозиции |
из |
|
нечном пласте |
|
|||||
двух полей вида |
(III.45), |
т. е. |
|
Ц?2 |
|
|
|||||||
|
|
|
р = |
с у |
Ц?1 |
1п /"1 —|—С2 |
1п Г2 + с, |
(III.54) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2яkh |
|
|
|
2яkh |
|
|
|
где |
С — постоянная |
|
интегрирования, |
rt и гг — расстояние от |
|||||||||
рассматриваемой точки М до «центров» скважин |
|
||||||||||||
|
Посмотрим, каким граничным условиям это решение соот |
||||||||||||
ветствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определим давления в двух точках А и В пересечения ли |
||||||||||||
нии «центров» скважин с поверхностью скважины № 1 : |
|
||||||||||||
|
|
|
~ |
с>т ш -1 |
|
+'с>-ш г' |
(' ■- *■>+ с< |
<га-55) |
|||||
|
|
|
Рв = |
С‘ S |
w |
0 ,_ + С2 |
|
У + R.J+ С, |
(III.56) |
||||
|
|
|
|
|
Р д - Р . = |
С |
, ^ |
1 п |
4 ^ . |
(Ш.57) |
Расстояние между скважинами, как известно, исчисляется десятками и сотнями метров, в то время мак радиус скважины
1 Под центром подразумевается точка пересечения оси скважины с го ризонтальной плоскостью.
69
равен нескольким сантиметрам (1^>RC). Отсюда следует, что с очень высокой степенью точности можно принять рА~Рв- Поскольку в этих точках давления достигают экстремальных значений, то и во всех точках поверхности скважины (окруж ности радиуса Rc) давление можно считать одинаковым и рав ным
р, с . |
2“ |
|
lnR' + |
С, |
* , 1 " ' + с - |
(III.58) |
|
Скорости в точках А и В, очевидно, будут |
|
||||||
... |
п |
|
4l |
I |
г* |
42 |
(III.59) |
А |
|
1 |
2яДсй |
|
|
2я (/ — Rc) h ’ |
|
|
|
|
|
||||
_. |
р |
|
Ч\ |
I |
р |
42 |
(III.60) |
в |
|
1 |
2яДсй |
1 |
* |
2я (/ + Лс)й • |
|
|
|
При l^> Rc vA « vB, т. е. можно принять, что скорость во всех точках окружности г = Rc одинакова и равна
+ < п ш >
где коэффициенты Ci = С2 = 1.
Проводя аналогичные рассуждения относительно поля в ок рестности скважины № 1 , придем к выводу, что во всех точках окружности ri величина р практически постоянна; иными сло вами, эти окружности можно считать изобарами.
Те же рассуждения, очевидно, имеют силу и для окрестности скважины № 2 .
Изучим теперь поле вдали от скважин.
Обозначим через <р угол между радиусом-вектором г, прове
денным |
из |
середины |
отрезка I до точки М {ги г2), |
и направле |
||
нием этого |
отрезка. Тогда |
давление в этой точке |
будет |
равно |
||
p = ~ B h [n [r2 + -^ - + |
rl cos ф)+ |
|
|
|||
|
|
|
— rl cos<pj + С. |
|
(III.62) |
|
При |
достаточно |
больших значениях г ( г » / ) |
можно |
заме |
нить логарифмы их приближенными значениями согласно фор муле 1п (1+ х)д ах — х2/2. Тогда
J»l!|iSl" ' +T r i (7)“ '+ C' <ПШ>
причем члены порядка (//г)2, (1/г)3, (//г) 4 отброшены.
При qi+qz¥=Q, начиная с некоторого значения г, вклад второго члена мал по сравнению с вкладом первого, поэтому
tnr + C, (III.64)
70